电梯属于特种设备，其监管责任归属于特种设备安全监督管理部门。根据《中华人民共和国特种设备安全法》第五条规定，国务院负责特种设备安全监督管理的部门对全国特种设备安全实施监督管理，而县级以上地方各级人民政府负责特种设备安全监督管理的部门则对本行政区域内特种设备安全实施监督管理。
具体到电梯的监管，特种设备安全监督管理部门负责电梯的安全监督管理工作。此外，住房城乡建设行政主管部门负责电梯机房、井道、底坑等土建工程的质量监督，并与财政部门一起负责住宅专项维修资金的监督管理。特种设备安全监察局则负责电梯等特种设备的安全监察、监督工作，包括监督检查特种设备的设计、制造、安装、改造、维修、使用、检测等。